Hierarchical Risk Parity (HRP):Definition, Formel und Clustering

Klassische Optimierer behandeln alle Vermögenswerte als austauschbare Knotenpunkte in einem vollständig vernetzten Netzwerk. Weisen zwei Titel eine Korrelation von 0,95 auf, invertiert der Markowitz-Algorithmus diese Beziehung oft in extreme gegenläufige Hebelpositionen. HRP gliedert die Allokation daher in drei sequenzielle, deterministische Teilschritte.

Zunächst wird die paarweise Korrelation ρ_i,j in eine echte mathematische Distanzmetrik transformiert:

Auf Basis dieser euklidischen Abstände bildet ein hierarchischer Clustering-Algorithmus (oft Single-Linkage) eine Baumstruktur (Dendrogramm). Im zweiten Schritt, der Quasi-Diagonalisierung, werden die Zeilen und Spalten der Kovarianzmatrix so umsortiert, dass hochkorrelierte Titel unmittelbar nebeneinander entlang der Hauptdiagonale platziert werden. Größere Clusterblock-Strukturen treten visuell und rechnerisch hervor.

Der finale Allokationsschritt teilt die sortierte Matrix rekursiv in zwei Teil-Cluster (Bisektion). Für jedes Cluster wird die aggregierte Cluster-Varianz V berechnet. Das relative Gewicht α₁ zwischen zwei Sub-Clustern bestimmt sich streng nach dem Prinzip der inversen Varianzparität:

Dieser Prozess wiederholt sich hierarchisch von oben nach unten, bis jedes Einzeltitels sein finales Portfoliogewicht erhalten hat. Hochvolatile Cluster erhalten automatisch geringere Gewichte, ohne dass isolierte Einzeltitel andere Cluster dominieren können.

Betrachte den Unterschied zwischen klassischer Markowitz-Optimierung und Hierarchical Risk Parity wie die Nachlassverteilung in einer weit verzweigten Familie:

• Der chaotische Familienrat (Klassische Markowitz-Optimierung): Ein Erblasser wirft alle 30 Verwandten (Geschwister, Kinder, Cousins, Großtanten) in einen einzigen Raum und verlangt, dass jede einzelne persönliche Beziehung zu jedem anderen Familienmitglied exakt mathematisch gewichtet wird. Streiten sich zwei Zwillingsbrüder nur minimal, verliert das System das Gleichgewicht: Der eine Zwilling erhält plötzlich 400 Prozent des Erbes auf Pump, während der andere enterbt und hoch verschuldet wird. Genau das passiert bei der Markowitz-Inversion, wenn zwei Aktien stark korrelieren.
• Die geordnete Erbfolge über Familienstämme (Hierarchical Risk Parity): Ein erfahrener Notar teilt das Erbe zunächst übergeordnet auf die beiden Hauptstämme auf (zum Beispiel 50 Prozent an Familienzweig A und 50 Prozent an Familienzweig B). Erst innerhalb dieser getrennten Zweige wird das Vermögen nach unten an die Geschwister weitergereicht. Selbst wenn zwei Geschwister innerhalb eines Zweigs nahezu identisch auftreten, bleibt die übergeordnete Balance zwischen den Hauptfamilien unberührt und stabil.

Die klassische Portfoliotheorie nach Harry Markowitz basiert auf der Invertierung der Kovarianzmatrix. In realen Kapitalmärkten bewegen sich viele Titel desselben Sektors jedoch fast im Gleichschritt. Steigt die Korrelation zwischen zwei Titeln auf über 0,80 oder 0,90, wird die Kovarianzmatrix numerisch singulär: Aus Sicht des Algorithmus transportieren beide Kurse nahezu dieselbe Information. Die mathematische Inversion explodiert und erzeugt extreme Hebelpositionen mit gigantischen Klumpenrisiken.

Der Ausweg durch Hierarchical Risk Parity:
Marcos López de Prado verzichtet bei HRP vollständig auf die fehleranfällige Invertierung der Kovarianzmatrix. Das Verfahren nutzt Machine Learning (unüberwachtes hierarchisches Clustering), um einen Baum (Dendrogramm) der Vermögenswerte aufzubauen. Anschließend verteilt eine rekursive Bisektion (Recursive Bisection) das Risikokapital schrittweise von oben nach unten entlang der Äste. Stark korrelierte Titel teilen sich fortan ihr Risikobudget fair im eigenen Teilbaum, anstatt das restliche Portfolio aus dem Gleichgewicht zu heben.

Die folgende Referenz-Implementierung in reinem Pandas, NumPy und SciPy setzt den vollständigen dreistufigen HRP-Algorithmus nach Marcos López de Prado um: Sie berechnet die Korrelationsdistanz, führt hierarchisches Clustering (Tree Clustering) samt quasi-diagonaler Sortierung (Quasi-Diagonalization) durch und allokiert das Risikokapital über rekursive und allokiert das Risikokapital über rekursive Bisektion (Recursive Bisection).

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.cluster.hierarchy as sch
from scipy.spatial.distance import squareform

def get_quasi_diagonal_order(linkage_matrix: np.ndarray) -> list:
    """Sortiert die Blatt-Indizes des Dendrogramms quasi-diagonal."""
    link = linkage_matrix.astype(int)
    num_items = link[-1, 3]
    order = [link[-1, 0], link[-1, 1]]
    while any(idx >= num_items for idx in order):
        new_order = []
        for idx in order:
            if idx >= num_items:
                row = idx - num_items
                new_order.extend([link[row, 0], link[row, 1]])
            else:
                new_order.append(idx)
        order = new_order
    return order

def get_cluster_variance(cov: pd.DataFrame, cluster_items: list) -> float:
    """Berechnet die inverse Paritaets-Varianz eines Teilclusters."""
    cov_slice = cov.loc[cluster_items, cluster_items]
    inv_diag = 1.0 / np.diag(cov_slice)
    weights = inv_diag / np.sum(inv_diag)
    return float(np.dot(np.dot(weights, cov_slice), weights))

def hierarchical_risk_parity(returns: pd.DataFrame) -> pd.Series:
    """
    Hierarchical Risk Parity (HRP) Portfolio-Allokation nach Marcos López de Prado.
    Allokiert Portfoliogewichte robust ohne Invertierung der Kovarianzmatrix.
    """
    cov = returns.cov()
    corr = returns.corr()

    # 1. Tree Clustering: Distanzmatrix & Linkage
    dist = np.sqrt(np.clip((1.0 - corr) / 2.0, 0.0, 1.0))
    link = sch.linkage(squareform(dist.values, checks=False), method="single")

    # 2. Quasi-Diagonalization: Geordnete Ticker-Liste
    sorted_indices = get_quasi_diagonal_order(link)
    sorted_tickers = [returns.columns[i] for i in sorted_indices]

    # 3. Recursive Bisection: Risikoteilung entlang des Baums
    weights = pd.Series(1.0, index=sorted_tickers)
    clusters = [sorted_tickers]

    while len(clusters) > 0:
        clusters = [c[start:end] for c in clusters for start, end in ((0, len(c) // 2), (len(c) // 2, len(c))) if len(c) > 1]
        for i in range(0, len(clusters), 2):
            c1 = clusters[i]
            c2 = clusters[i + 1]
            v1 = get_cluster_variance(cov, c1)
            v2 = get_cluster_variance(cov, c2)
            alpha = 1.0 - v1 / (v1 + v2)
            weights[c1] *= alpha
            weights[c2] *= (1.0 - alpha)

    return weights.reindex(returns.columns)

Hinweis für Quant-Pipelines: Die Wahl der Linkage-Methode beeinflusst die Baumstruktur. Während Marcos López de Prado im Grundlagenwerk Single Linkage für die theoretische Herleitung nutzt, empfiehlt sich in realen Multi-Asset-Portfolios häufig Ward-Linkage oder Complete Linkage, um dichtere, gleichmäßig balancierte Cluster zu bilden.

In der institutionellen Modellierung hat sich HRP als überlegener Standard etabliert:

• Stabilität bei kollinearen Vermögenswerten: Wenn Anlageklassen (wie Technologieaktien und Krypto-Assets) temporär extrem hoch korrelieren, erzeugt Markowitz absurde Extremallokationen. HRP erkennt die Cluster-Zugehörigkeit und teilt das Risiko stabil auf die Gruppe auf.
• Keine Annahme über Renditeerwartungen: Ähnlich wie klassische Risk-Parity-Modelle benötigt HRP keine Prognosen künftiger Erträge, welche in der Realität hochgradig rauschbehaftet sind.
• Hervorragende Out-of-Sample Performance: Empirische Studien belegen, dass HRP über historische Stressphasen hinweg geringere Drawdowns und höhere Sharpe Ratios als herkömmliche Equal-Weight- oder Min-Variance-Portfolios erzielt.

Auch HRP besitzt Eigenschaften, die im praktischen Handel berücksichtigt werden müssen:

• Reine Risikoorientierung: Da HRP ausschließlich Korrelationen und Varianzen auswertet, ignoriert das Basismodell fundamentale Alpha-Signale oder Renditeprognosen.
• Sensitivität gegenüber Linkage-Verfahren: Die Wahl des Clustering-Verfahrens (Single-Linkage, Complete-Linkage oder Ward) kann bei komplexen Anlageuniversen zu unterschiedlichen Baumstrukturen führen.
• Instabilität bei Regime-Wechseln: Ändert sich die Korrelationsmatrix in Crash-Phasen abrupt, erfordert die hierarchische Neuberechnung unter Umständen ein erhöhtes Transaktionsvolumen.